27 listopada 2017

Ćwiczenia 9: porządki cz. 3

Zadania

  1. Niech funkcja \(f: P(\NN \times \NN) \to P(\NN \times \NN)\) będzie określona tak:
    \[ f(s) = s \cdot s.
    \]
    Udowodnić, że f jest ciągła ze względu na uporządkowanie przez inkluzję, tj.
    \[ f(\bigcup X) = \bigcup f(X) \]
    dla dowolnej skierowanej rodziny relacji \(X \subseteq P(\NN\times\NN)\).
  2. Niech A będzie częściowym porządkiem zupełnym i niech \(f: A \to A\) będzie ciągła. Udowodnić, że jeśli \(a \leq f(a)\), to istnieje taki punkt stały \(b\), że \(a \leq b\). 
  3. W zbiorze funkcji \(\NN \to \{2,3\}\) dany jest następujący porządek częściowy:
    \[ f \leq g \hbox{ wtw. } f^{-1}(\{2\}) \subseteq g^{-1}(\{2\}). \]
    Czy ten porządek:
    a) jest liniowy?
    b) ma elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe?
    c) jest kratą zupełną?

Praca domowa

Zadania 406 abdc i 487.

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz