Zadania
- W strukturze \(\mathcal{A} =\langle \NN, P^{\mathcal{A}},Q^{\mathcal{A}}\rangle\), gdzie:
\( \langle a,b \rangle \in P^{\mathcal{A}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a+b \geq 6\),
\( \langle a,b \rangle \in Q^{\mathcal{A}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(b = a + 2\),
wyznaczyć wartość
a) formuły \(\forall x P(x,y) \to \exists xQ(x,y)\),
b) formuły \(\forall x P(x,y) \to \exists xQ(x,z)\),
przy wartościowwaniu \(v(y) = 7, v(z)=1\).
- Podać przykład modelu i wartościowania, przy którym formuła
\[ P(x,f(x)) \to \forall x \exists y P(f(y), x) \]
jest a) spełniona b) niespełniona.
- Dla każdej z następujących par struktur wskaż formułę prawdziwą w jednej
z nich a w drugiej nie (dla utrudnienia można oczekiwać formuły
otwartej spełnialnej w jednej strukturze, a w drugiej nie):
a) \(\langle \QQ, +, \cdot, 0, 1\rangle\) i \(\langle \RR, +, \cdot, 0, 1\rangle\),
b) \(\langle \NN, +, 0 \rangle\) i \(\langle \NN, \cdot, 1\rangle\),
c) \(\langle P_2, \parallel \rangle\) i \(\langle P_2, \bot \rangle\), gdzie \(P_2\) to zbiór prostych w \(\RR^2\),
d) \(\langle \NN, \leq \rangle\) i \(\langle \ZZ, \leq\rangle\).
- Zapisać następujące stwierdzenia w języku arytmetyki liczb
naturalnych (\(+, \cdot, 0, 1, =\)) używając symboli logicznych i
kwantyfikatorów.
a) Liczba a jest mniejsza lub równa liczbie b.
b) Liczba a jest resztą z dzielenia liczby b przez c.
c) Liczba jest pierwsza.
- Sygnatura \(\Sigma\) składa się z symbolu równości i dwóch
jednoargumentowych symboli relacyjnych R, S i jednego jednoragumentowego
symbolu funkcyjnego f.
a) Napisać zdanie prawdziwe dokładnie w tych
modelach \(\mathcal{A} =\langle A, R^{\mathcal{A}},S^{\mathcal{A}},
f^{\mathcal{A}}\rangle\), w których obraz zbioru \(R^{\mathcal {A}}\)
przy funkcji \(f^{\mathcal {A}}\) zawiera się w zbiorze \(S^{\mathcal
{A}}\).
Praca domowa
Zadania 563 d,e i 569 e,g.