22 stycznia 2018

Ćwiczenia 15: dobre ufundowanie

Zadania

  1. Czy zbiór \(\langle \NN^{*}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
  2. Czy zbiór \(\langle \NN^{2}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
  3. Znaleźć moc zbioru dobrze ufundowanych porządków w \(\NN\).
  4. Niech A będzie dowolnym zbiorem i niech \(B \subseteq A \times A\). Udowodnić, że istnieje maksymalny zbiór C taki, że \(C \times C \subseteq B\).
  5. Niech \(B \subseteq \RR_+\). Udowodnić, że istnieje zbiór \(C \subseteq \RR), że:
    • \(\forall x,y \in (x \neq y \to |x - y| \in B)\),
    • \(\forall x (x\not\in C \to \exists y\in C |x - y| \not\in B\).

15 stycznia 2018

Ćwiczenia 14: moce

Zadania


  1. Znaleźć moc zbioru \(\{0,1\}^*\).
  2. Znaleźć moc zbioru skończonych podzbiorów \(\NN\).
  3. Znaleźć moc zbioru funkcji z \(\NN\) do \(\NN\).
  4. Znaleźć moc zbioru funkcji niemalejących z \(\NN\) do \(\NN\).
  5. Znaleźć moc zbioru funkcji nierosnących z \(\NN\) do \(\NN\).