Ćwiczenia 5: funkcje

Zadania

1.  Ile jest funkcji, funkcji częściowych, funkcji różnowartościowych, funkcji na
   a) \(\emptyset \to \emptyset\),
   b) \(\emptyset \to \{ \cdot \}\),
   c) \(\{ \cdot \}\to \emptyset\),
   d) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot \}\),
   e) \(\{ \cdot, \square \}\to \{ \cdot \}\),
   f) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot, \square \}\)?
    
2. Podać przykład \(f : A \to B\), \(X \subseteq A\), \(Y \subseteq B\) takich, że
   a) \(f^{-1}(f(X)) \neq X\),
   b) \(f(f^{-1}(Y)) \neq Y\).
3. Niech \(F : \NN^{\NN} \to P(\NN)\) będzie taka, że \(F(f) = f^{-1}(\{1\})\).
   a) Czy \(F\) jest różnowartościowa?
   b) Czy \(F\) jest na \(P(\NN)\)?
   c) Znaleźć obraz zbioru funkcji stałych.
   d) Znaleźć przeciwobraz zbioru \(\{\{ 10 \}\}\).
4. Pokazać, że funkcja \(\varphi: P(A\times B) \to P(A)^B\) dana wzorem:
   \[ \varphi(\Delta)(b) = \{ a\in A \mid \langle a,b\rangle \in \Delta \}\]
   jest bijekcją.

Praca domowa

Zadania 84 i 151 ze zbioru zadań

Ćwiczenia 4: iloczyn kartezjański, funkcje

Zadania

1. Czy następująca równość zachodzi dla dowolnego zbioru A:
   \[ \bigcap \{P(B) \mid B \subseteq A\} = \{ \bigcap P(B) \mid B\subseteq A\}?\]
2. Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
3. Czy dla dowolnych niepustych rodzin \(\mathcal{A}\) i \(\mathcal{B}\) zachodzi \(\bigcup \mathcal{A} \times  \bigcup \mathcal{B} = \bigcup \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in  \mathcal{A}, \beta \in  \mathcal{B}\}\)?
4. Niech \(f:A\to B\). Pokazać, że f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego C i dla każdych \(g,h: C \to A\) zachodzi \(f \circ g = f\circ h \to g=h\).

Praca domowa

Zadanie 114.

Ćwiczenia 3: suma uogólniona i iloczyn uogólniony

Zadania

1.  a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{A} \subseteq \bigcap \mathcal{B}\)?
   b) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{B} \subseteq \bigcap \mathcal{A}\)?
2. Czy dla dowolnych niepustych A, B takich, że \(A \cap B \neq \emptyset\) zachodzi:
   a) \(\bigcup A \cup\bigcup B = \bigcup (A \cup B)\)
   b) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cap B)\)?
3. Które z poniższych implikaci są prawdziwe dla dowolnych zbiorów X, Y:
   a) jeśli \( P(Y) \subseteq X \), to \(Y \subseteq \bigcup X\),
   b) jeśli \(Y \subseteq \bigcup X\), to \( P(Y) \subseteq X \).
4. Znaleźć \( \bigcup_{t \in \RR_+} A_t \) i \( \bigcap_{t \in \RR_+} A_t \), gdzie \(A_t = (1-\frac{1}{t}, 2 + \sqrt{t})\) dla \(t \in \RR_+\).

Praca domowa

Zadania 40 d, e i 45 ze zbioru zadań.

Ćwiczenia 2: rachunek zbiorów, zbiór potęgowy

Zadania

1. Przypuśćmy, że zbiór A ma n elementów, a zbiór B ma n elementów. Ile elementów mają zbiory \(A \cup B\), \(A \cap B\), \(A - B\)?
2. Czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzą równości:
   a) \(A - (B \cup C) = (A - B) - C\),
   b) \(A - (B - C) = (A - B) \cup C\),
   c) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)?
3. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów w \(A\), \(B\), \(C\) zachodzi następująca implikacja:
   a) jeśli \( A - B = B - A \), to \( A = B\),
   b) jeśli \(C - B \subseteq C - A\), to \(A \subseteq B\).
   
4. Zbadać, czy dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi:
   a) \(P (A \cup B) = P(A) \cup P(B)\),
   b) \(P (A \cap B) = P(A) \cap P(B)\).
5. Udowodnić, że dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi warunek: jeśli \(A \cap B = \emptyset\), to \(P(A) \cap P(B) = \{ \emptyset \}\).

Praca domowa 

Zadania 27 i 31.

Ćwiczenia 1: powtórzenie z logiki, indukcja

Zadania

1. Zaznaczyć na rysunku zbiory:
   a) \(\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 >1  \to y+x > 0\}\),
   b) \[\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid(x^2 + y^2 >1 ) \to (x^2 + y^2 \leq 2) \wedge ( \neg (x \cdot y = 0) \to |y| = |x|)  \}\]
   c) \(\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid  (\forall z(z+y < 0)) \to y+x<0 \}\),
   d) \(\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid  x^2 + y^2 >1  \to \exists z (x^2 + (y-z)^2 \leq \frac{1}{4})\}\).
2. Zaznaczyć na rysunku zbiory:
   a) \( \{z \in \mathbb{R} \mid \forall x \exists x (x=1)\} \),
   b) \( \{z \in \mathbb{R} \mid \exists x \forall x (x=1)\} \),
   c) \( \{x \in \mathbb{R} \mid \forall x \exists x (x=1)\} \).
3. Udowodnić, że \(1 + 2 + 4 + \ldots + 2^n = 2^{n+1} -1\).

Praca domowa

Zadania 4b i 7c ze zbioru zadań.