Ćwiczenia 6: równoliczność, relacje

Zadania

1. Pokazać, że jeśli \(A \sim B\), to \(P(A) \times P(B) \sim \{0,1,2,3\}^A\).
2. Znaleźć przykład pięcioelementowej relacji na zbiorze liczb naturalnych, która jest
   a) przechodnia,
   b) symetryczna,
   c) zwrotna.
3. Czy dla każdego \(A\) i dla każdego \(R \subseteq A \times A\) zachodzi:
   a) \(R^{-1} \cdot R \subseteq id_{A}\),
   b) \(id_{A} \subseteq R^{-1} \cdot R \subseteq \)?
4.  Niech \(\mathcal{R}\) będzie taką rodziną relacji przechodnich, że dla dowolnych \(r, s \in \mathcal{R}\) zachodzi \(r \subseteq s\) lub \(s \subseteq r\). Udowodnić, że \(\bigcup \mathcal{R}\) jest relacją przechodnią.
5. Niech \(\mathcal{R}\) będzie niepustą rodziną relacji w \(A \times B\) i niech \(s \subseteq B \times C\). Udowodnić, że
   \[ (\bigcup R) \cdot s = \bigcup \{ r \cdot s \mid r \in \mathcal{R} \}. \]

Praca domowa

Zadania 156 i 164.