16 października 2017

Ćwiczenia 3: suma uogólniona i iloczyn uogólniony

Zadania

  1.  a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{A} \subseteq \bigcap \mathcal{B}\)?
    b) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{B} \subseteq \bigcap \mathcal{A}\)?
  2. Czy dla dowolnych niepustych A, B takich, że \(A \cap B \neq \emptyset\) zachodzi:
    a) \(\bigcup A \cup\bigcup B = \bigcup (A \cup B)\)
    b) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cap B)\)?
  3. Które z poniższych implikaci są prawdziwe dla dowolnych zbiorów X, Y:
    a) jeśli \( P(Y) \subseteq X \), to \(Y \subseteq \bigcup X\),
    b) jeśli \(Y \subseteq \bigcup X\), to \( P(Y) \subseteq X \).
  4. Znaleźć \( \bigcup_{t \in \RR_+} A_t \) i \( \bigcap_{t \in \RR_+} A_t \), gdzie \(A_t = (1-\frac{1}{t}, 2 + \sqrt{t})\) dla \(t \in \RR_+\).

Praca domowa

Zadania 40 d, e i 45 ze zbioru zadań.

9 października 2017

Ćwiczenia 2: rachunek zbiorów, zbiór potęgowy

Zadania

  1. Przypuśćmy, że zbiór A ma n elementów, a zbiór B ma n elementów. Ile elementów mają zbiory \(A \cup B\), \(A \cap B\), \(A - B\)?
  2. Czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzą równości:
    a) \(A - (B \cup C) = (A - B) - C\),
    b) \(A - (B - C) = (A - B) \cup C\),
    c) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)?
  3. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów w \(A\), \(B\), \(C\) zachodzi następująca implikacja:
    a) jeśli \( A - B = B - A \), to \( A = B\),
    b) jeśli \(C - B \subseteq C - A\), to \(A \subseteq B\).
  4. Zbadać, czy dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi:
    a) \(P (A \cup B) = P(A) \cup P(B)\),
    b) \(P (A \cap B) = P(A) \cap P(B)\).
  5. Udowodnić, że dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi warunek: jeśli \(A \cap B = \emptyset\), to \(P(A) \cap P(B) = \{ \emptyset \}\).

Praca domowa 

Zadania 27 i 31.

2 października 2017

Ćwiczenia 1: powtórzenie z logiki, indukcja

Zadania

  1. Zaznaczyć na rysunku zbiory:
    a) \(\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 >1  \to y+x > 0\}\),
    b) \[\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid(x^2 + y^2 >1 ) \to (x^2 + y^2 \leq 2) \wedge ( \neg (x \cdot y = 0) \to |y| = |x|)  \}\]
    c) \(\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid  (\forall z(z+y < 0)) \to y+x<0 \}\),
    d) \(\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid  x^2 + y^2 >1  \to \exists z (x^2 + (y-z)^2 \leq \frac{1}{4})\}\).
  2. Zaznaczyć na rysunku zbiory:
    a) \( \{z \in \mathbb{R} \mid \forall x \exists x (x=1)\} \),
    b) \( \{z \in \mathbb{R} \mid \exists x \forall x (x=1)\} \),
    c) \( \{x \in \mathbb{R} \mid \forall x \exists x (x=1)\} \).
  3. Udowodnić, że \(1 + 2 + 4 + \ldots + 2^n = 2^{n+1} -1\).

Praca domowa

Zadania 4b i 7c ze zbioru zadań.