Ćwiczenia 8: porządki cz. 2

Zadania

1.  Niech \(A = \{ 3 - \frac{1}{2n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\),
   \(B = \{ \pi - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{4\}\),
   \(C = \{0\} \cup \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{ 2 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\).
   Rozpatrzmy zbiory A, B, C, \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\),  \(\mathbb{R}\). Które z nich są izomorficzne? 
2. Rozpatrzmy porządek częściowy \(\langle P(\NN)^{\NN}, \leq \rangle\), gdzie
   \[ f \leq g \hbox{ wtw. } \forall n(f(n) \subseteq g(n)). \]
   a) Wskazać elementy najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne.
   b) Czy ten porządek jest liniowy?
   c) Czy ten porządek jest kratą zupełną.
3. Podać przykład częściowego porządku zupełnego, który nie jest kratą zupełną. (Odpowiedź: funkcje częściowe z porządkiem rozszerzania.)
4. Niech \(r\) będzie częściowym porządkiem w A i niech \(f : A \to A\) będzie bijekcją. Rozpatrzmy funkcję \(g: A \times A \to A \times A\):
   \[ g(x,y) = \langle f(x), f(y) \rangle. \]
   Udowodnić, że \(g(r) \subseteq r\) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest monotoniczna.

Praca domowa

Zadania 364 i 399 a,c,d.