Ćwiczenia 9: porządki cz. 3

Zadania

1. Niech funkcja \(f: P(\NN \times \NN) \to P(\NN \times \NN)\) będzie określona tak:
   \[ f(s) = s \cdot s.
   \]
   Udowodnić, że f jest ciągła ze względu na uporządkowanie przez inkluzję, tj.
   \[ f(\bigcup X) = \bigcup f(X) \]
   dla dowolnej skierowanej rodziny relacji \(X \subseteq P(\NN\times\NN)\).
2. Niech A będzie częściowym porządkiem zupełnym i niech \(f: A \to A\) będzie ciągła. Udowodnić, że jeśli \(a \leq f(a)\), to istnieje taki punkt stały \(b\), że \(a \leq b\). 
3. W zbiorze funkcji \(\NN \to \{2,3\}\) dany jest następujący porządek częściowy:
   \[ f \leq g \hbox{ wtw. } f^{-1}(\{2\}) \subseteq g^{-1}(\{2\}). \]
   Czy ten porządek:
   a) jest liniowy?
   b) ma elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe?
   c) jest kratą zupełną?

Praca domowa

Zadania 406 abdc i 487.

Ćwiczenia 8: porządki cz. 2

Zadania

1.  Niech \(A = \{ 3 - \frac{1}{2n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\),
   \(B = \{ \pi - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{4\}\),
   \(C = \{0\} \cup \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{ 2 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\).
   Rozpatrzmy zbiory A, B, C, \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\),  \(\mathbb{R}\). Które z nich są izomorficzne? 
2. Rozpatrzmy porządek częściowy \(\langle P(\NN)^{\NN}, \leq \rangle\), gdzie
   \[ f \leq g \hbox{ wtw. } \forall n(f(n) \subseteq g(n)). \]
   a) Wskazać elementy najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne.
   b) Czy ten porządek jest liniowy?
   c) Czy ten porządek jest kratą zupełną.
3. Podać przykład częściowego porządku zupełnego, który nie jest kratą zupełną. (Odpowiedź: funkcje częściowe z porządkiem rozszerzania.)
4. Niech \(r\) będzie częściowym porządkiem w A i niech \(f : A \to A\) będzie bijekcją. Rozpatrzmy funkcję \(g: A \times A \to A \times A\):
   \[ g(x,y) = \langle f(x), f(y) \rangle. \]
   Udowodnić, że \(g(r) \subseteq r\) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest monotoniczna.

Praca domowa

Zadania 364 i 399 a,c,d.

Ćwiczenia 7: porządki

Zadania

1. (Utajnione) Zadanie z kartkówki. 
2. Podać przykład zbioru częściowo uporządkowanego z dwoma elementami maksymalnymi, jednym minimalnym, bez elementu najmniejszego i z takim czteroelementowym antyłańcuchem, który jest ograniczony z góry, ale nie ma kresu górnego.
3.  Rozpatrzmy częściowe uporządkowanie zbioru \(\{0,1\}^{\NN}\) takie, że
   \[ f \leq g \hbox{ wtw. }\forall x (f(x) \leq g(x)). \]
   a) Czy ten porządek jest liniowy?
   b) Czy istnieje w nim łańcuch nieskończony?
   c) Czy istnieje w nim antyłańcuch nieskończony?
   d) Czy ma element maksymalny, minimalny, najmniejszy, największy?
4. Czy zbiór \(\{01^n \mid n \in \NN\}\) ma kres górny (dolny) w zbiorze \(\{0,1\}^{*}\) uporządkowanym leksykograficznie?

Praca domowa

Zadanie 358 ze zbioru zadań.

Uwaga: Relacja \(r \subseteq A \times A\) jest przeciwzrotna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\forall x \in A (\langle a, a\rangle \not\in r)\) .

Ćwiczenia 6: równoliczność, relacje

Zadania

1. Pokazać, że jeśli \(A \sim B\), to \(P(A) \times P(B) \sim \{0,1,2,3\}^A\).
2. Znaleźć przykład pięcioelementowej relacji na zbiorze liczb naturalnych, która jest
   a) przechodnia,
   b) symetryczna,
   c) zwrotna.
3. Czy dla każdego \(A\) i dla każdego \(R \subseteq A \times A\) zachodzi:
   a) \(R^{-1} \cdot R \subseteq id_{A}\),
   b) \(id_{A} \subseteq R^{-1} \cdot R \subseteq \)?
4.  Niech \(\mathcal{R}\) będzie taką rodziną relacji przechodnich, że dla dowolnych \(r, s \in \mathcal{R}\) zachodzi \(r \subseteq s\) lub \(s \subseteq r\). Udowodnić, że \(\bigcup \mathcal{R}\) jest relacją przechodnią.
5. Niech \(\mathcal{R}\) będzie niepustą rodziną relacji w \(A \times B\) i niech \(s \subseteq B \times C\). Udowodnić, że
   \[ (\bigcup R) \cdot s = \bigcup \{ r \cdot s \mid r \in \mathcal{R} \}. \]

Praca domowa

Zadania 156 i 164.