Ćwiczenia 15: dobre ufundowanie

Zadania

1. Czy zbiór \(\langle \NN^{*}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
2. Czy zbiór \(\langle \NN^{2}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
3. Znaleźć moc zbioru dobrze ufundowanych porządków w \(\NN\).
4. Niech A będzie dowolnym zbiorem i niech \(B \subseteq A \times A\). Udowodnić, że istnieje maksymalny zbiór C taki, że \(C \times C \subseteq B\).
5. Niech \(B \subseteq \RR_+\). Udowodnić, że istnieje zbiór \(C \subseteq \RR), że:
   • \(\forall x,y \in (x \neq y \to |x - y| \in B)\),
   • \(\forall x (x\not\in C \to \exists y\in C |x - y| \not\in B\).