Ćwiczenia 15: dobre ufundowanie

Zadania

1. Czy zbiór $\langle \NN^{*}, \leq_{lex}\rangle$ jest dobrze ufundowany?
2. Czy zbiór $\langle \NN^{2}, \leq_{lex}\rangle$ jest dobrze ufundowany?
3. Znaleźć moc zbioru dobrze ufundowanych porządków w $\NN$.
4. Niech A będzie dowolnym zbiorem i niech $B \subseteq A \times A$. Udowodnić, że istnieje maksymalny zbiór C taki, że $C \times C \subseteq B$.
5. Niech $B \subseteq \RR_+$. Udowodnić, że istnieje zbiór \(C \subseteq \RR), że:
   • $\forall x,y \in (x \neq y \to |x - y| \in B)$,
   • $\forall x (x\not\in C \to \exists y\in C |x - y| \not\in B$.

Ćwiczenia 14: moce

Zadania

1. Znaleźć moc zbioru $\{0,1\}^*$.
2. Znaleźć moc zbioru skończonych podzbiorów $\NN$.
3. Znaleźć moc zbioru funkcji z $\NN$ do $\NN$.
4. Znaleźć moc zbioru funkcji niemalejących z $\NN$ do $\NN$.
5. Znaleźć moc zbioru funkcji nierosnących z $\NN$ do $\NN$.

Ćwiczenia 12: relacje równoważności

Zadania

1. Jaka jest najmniejsza i największa (w sensie zawierania) relacja równoważności w zbiorze A?
2. Ile jest relacji równoważności w zbiorze liczb naturalnych, które są jednocześnie częściowymi porządkami?
3.  Czy istnieje relacja równoważności w $\NN$, która ma:
   a) dokładnie dwie klasy abstrakcji po 37 elementów,
   b) dwie klasy abstrakcji po 37 elementów, trzy klasy abstrakcji po 33 elementy i jedną nieskończoną klasę abstrakcji,
   c) nieskończenie wiele klas abstrakcji, każda o nieskończonej liczbie elementów.
4. Niech $R \subseteq \NN^\NN \times \NN^\NN$ będzie określona tak:
   $$\langle f, g \rangle \hbox{ wtw. } \forall n(f(n) - g(n) \hbox{ jest liczbą parzystą. })$$
   a) Pokazać, że R jest relacją równoważności.
   b) Opisać klasę abstrakcji funkcji identycznościowej.
   c) Czy zbiór $(\NN\to\NN)/_R$ jest nieskończony?
   d) Czy zbiór $\{f: \NN\to \NN \mid f(0) = 2\}$ jest klasa abstrakcji tej relacji?
5. Niech $r$ będzie relacją równoważności w $\NN$ i niech $f : \NN \times \NN \to P(\NN)$ będzie taka, że:
   $$f(\langle x,y \rangle) = [x]_r \cup [y]_r$$
   a) Czy f jest różnowartościowa?
   b) Czy f jest na $P(\NN)$?
   c) Znaleźć $f^{-1}(\{ [3]_r \})$.
   d) Znaleźć $f(r)$.
6. Niech $r \subseteq \NN^\NN \times \NN^\NN$ będzie określona tak:
   $$\langle f, g \rangle \hbox{ wtw. } f(\NN) = g(\NN).$$
   a) Udowodnić jednym krótkim zdaniem, że r jest relacją równoważności.
   b) Znaleźć $[\lambda x.1]_r$ i $[id_{\NN}]_r$.
   c) Czy istnieje dwuelementowa klasa abstrakcji?

Praca domowa - dla chętnych

Zadania 193 i 206. Ta praca domowa nie jest obowiązkowa.

Ćwiczenia 11: logika

Zadania

1. W strukturze $\mathcal{A} =\langle \NN, P^{\mathcal{A}},Q^{\mathcal{A}}\rangle$, gdzie:
   $\langle a,b \rangle \in P^{\mathcal{A}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a+b \geq 6$,
   $\langle a,b \rangle \in Q^{\mathcal{A}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b = a + 2$,
   wyznaczyć wartość
   a) formuły $\forall x P(x,y) \to \exists xQ(x,y)$,
   b) formuły $\forall x P(x,y) \to \exists xQ(x,z)$,
   przy wartościowwaniu $v(y) = 7, v(z)=1$.
   
2. Podać przykład modelu i wartościowania, przy którym formuła
   $$P(x,f(x)) \to \forall x \exists y P(f(y), x)$$
   jest a) spełniona b) niespełniona.
3. Dla każdej z następujących par struktur wskaż formułę prawdziwą w jednej z nich a w drugiej nie (dla utrudnienia można oczekiwać formuły otwartej spełnialnej w jednej strukturze, a w drugiej nie):
   a) $\langle \QQ, +, \cdot, 0, 1\rangle$ i $\langle \RR, +, \cdot, 0, 1\rangle$,
   b) $\langle \NN, +, 0 \rangle$ i $\langle \NN, \cdot, 1\rangle$,
   c) $\langle P_2, \parallel \rangle$ i $\langle P_2, \bot \rangle$, gdzie $P_2$ to zbiór prostych w $\RR^2$,
   d) $\langle \NN, \leq \rangle$ i $\langle \ZZ, \leq\rangle$.
4. Zapisać następujące stwierdzenia w języku arytmetyki  liczb naturalnych ($+, \cdot, 0, 1, =$) używając symboli logicznych i kwantyfikatorów.
   a) Liczba a jest mniejsza lub równa liczbie b.
   b) Liczba a jest resztą z dzielenia liczby b przez c.
   c) Liczba jest pierwsza.
5. Sygnatura $\Sigma$ składa się z symbolu równości i dwóch jednoargumentowych symboli relacyjnych R, S i jednego jednoragumentowego symbolu funkcyjnego f.
   a) Napisać zdanie prawdziwe dokładnie w tych modelach $\mathcal{A} =\langle A, R^{\mathcal{A}},S^{\mathcal{A}}, f^{\mathcal{A}}\rangle$, w których obraz zbioru $R^{\mathcal {A}}$ przy funkcji $f^{\mathcal {A}}$ zawiera się w zbiorze $S^{\mathcal {A}}$.

Praca domowa

Zadania 563 d,e i 569 e,g.

Ćwiczenia 10: powtórzenie przed klasówką

Zadania

1. Czy zbiór $\{0^n1 \mid n \in \NN\}$ ma kres górny (dolny) w zbiorze $\{0,1\}^{\NN}$ uporządkowanym leksykograficznie?
2. Udowodnić, że nie istnieje słowo w takie, że $a \cdot w = w \cdot b$.
3. Zdefiniować na listach operację dopisania liczby n na końcu listy.
4. Funkcję $F : (\NN \to P(\NN)) \to P(\NN)$ jest określona warunkiem
   $$F(x) = \bigcup \{x(i) \mid i \in \NN\}.$$
   a) Czy F jest różnowartościowa?
   b) Czy F jest na $P(\NN)$?
   c) Czy istnieje zbiór $A \subseteq \NN$ taki, że $F^{-1}(\{A\})$ jest jednoelementowy?
   d) Czy istnieje zbiór $A \subseteq \NN$ taki, że $F^{-1}(\{A\})$ jest czteroelementowy?
5. Podać przykład funkcji $f : \NN \to \NN$ i zbioru $X \subseteq \NN$, aby funkcja $g:\NN\to P(\NN)$ określona wzorem:
   $$g(i) = (f^i)^{-1}(X)$$
   była różnowartościowa.

Ze względu na klasówkę w tym tygodniu nie ma pracy domowej.

Ćwiczenia 9: porządki cz. 3

Zadania

1. Niech funkcja $f: P(\NN \times \NN) \to P(\NN \times \NN)$ będzie określona tak:
   $$f(s) = s \cdot s.$$
   Udowodnić, że f jest ciągła ze względu na uporządkowanie przez inkluzję, tj.
   $$f(\bigcup X) = \bigcup f(X)$$
   dla dowolnej skierowanej rodziny relacji $X \subseteq P(\NN\times\NN)$.
2. Niech A będzie częściowym porządkiem zupełnym i niech $f: A \to A$ będzie ciągła. Udowodnić, że jeśli $a \leq f(a)$, to istnieje taki punkt stały $b$, że $a \leq b$. 
3. W zbiorze funkcji $\NN \to \{2,3\}$ dany jest następujący porządek częściowy:
   $$f \leq g \hbox{ wtw. } f^{-1}(\{2\}) \subseteq g^{-1}(\{2\}).$$
   Czy ten porządek:
   a) jest liniowy?
   b) ma elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe?
   c) jest kratą zupełną?

Praca domowa

Zadania 406 abdc i 487.

Ćwiczenia 8: porządki cz. 2

Zadania

1.  Niech $A = \{ 3 - \frac{1}{2n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}$,
   $B = \{ \pi - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{4\}$,
   $C = \{0\} \cup \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{ 2 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}$.
   Rozpatrzmy zbiory A, B, C, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$,  $\mathbb{R}$. Które z nich są izomorficzne? 
2. Rozpatrzmy porządek częściowy $\langle P(\NN)^{\NN}, \leq \rangle$, gdzie
   $$f \leq g \hbox{ wtw. } \forall n(f(n) \subseteq g(n)).$$
   a) Wskazać elementy najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne.
   b) Czy ten porządek jest liniowy?
   c) Czy ten porządek jest kratą zupełną.
3. Podać przykład częściowego porządku zupełnego, który nie jest kratą zupełną. (Odpowiedź: funkcje częściowe z porządkiem rozszerzania.)
4. Niech $r$ będzie częściowym porządkiem w A i niech $f : A \to A$ będzie bijekcją. Rozpatrzmy funkcję $g: A \times A \to A \times A$:
   $$g(x,y) = \langle f(x), f(y) \rangle.$$
   Udowodnić, że $g(r) \subseteq r$ wtedy i tylko wtedy, gdy f jest monotoniczna.

Praca domowa

Zadania 364 i 399 a,c,d.