Ćwiczenia 1: powtórzenie z logiki, indukcja

Zadania

1. Zaznaczyć na rysunku zbiory:
   a) \(\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 >1  \to y+x > 0\}\),
   b) \[\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid(x^2 + y^2 >1 ) \to (x^2 + y^2 \leq 2) \wedge ( \neg (x \cdot y = 0) \to |y| = |x|)  \}\]
   c) \(\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid  (\forall z(z+y < 0)) \to y+x<0 \}\),
   d) \(\{\langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^2 \mid  x^2 + y^2 >1  \to \exists z (x^2 + (y-z)^2 \leq \frac{1}{4})\}\).
2. Zaznaczyć na rysunku zbiory:
   a) \( \{z \in \mathbb{R} \mid \forall x \exists x (x=1)\} \),
   b) \( \{z \in \mathbb{R} \mid \exists x \forall x (x=1)\} \),
   c) \( \{x \in \mathbb{R} \mid \forall x \exists x (x=1)\} \).
3. Udowodnić, że \(1 + 2 + 4 + \ldots + 2^n = 2^{n+1} -1\).

Praca domowa

Zadania 4b i 7c ze zbioru zadań.