Ćwiczenia 9: porządki cz. 3

Zadania

1. Niech funkcja \(f: P(\NN \times \NN) \to P(\NN \times \NN)\) będzie określona tak:
   \[ f(s) = s \cdot s.
   \]
   Udowodnić, że f jest ciągła ze względu na uporządkowanie przez inkluzję, tj.
   \[ f(\bigcup X) = \bigcup f(X) \]
   dla dowolnej skierowanej rodziny relacji \(X \subseteq P(\NN\times\NN)\).
2. Niech A będzie częściowym porządkiem zupełnym i niech \(f: A \to A\) będzie ciągła. Udowodnić, że jeśli \(a \leq f(a)\), to istnieje taki punkt stały \(b\), że \(a \leq b\). 
3. W zbiorze funkcji \(\NN \to \{2,3\}\) dany jest następujący porządek częściowy:
   \[ f \leq g \hbox{ wtw. } f^{-1}(\{2\}) \subseteq g^{-1}(\{2\}). \]
   Czy ten porządek:
   a) jest liniowy?
   b) ma elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe?
   c) jest kratą zupełną?

Praca domowa

Zadania 406 abdc i 487.

Ćwiczenia 8: porządki cz. 2

Zadania

1.  Niech \(A = \{ 3 - \frac{1}{2n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\),
   \(B = \{ \pi - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{4\}\),
   \(C = \{0\} \cup \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{ 2 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\).
   Rozpatrzmy zbiory A, B, C, \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\),  \(\mathbb{R}\). Które z nich są izomorficzne? 
2. Rozpatrzmy porządek częściowy \(\langle P(\NN)^{\NN}, \leq \rangle\), gdzie
   \[ f \leq g \hbox{ wtw. } \forall n(f(n) \subseteq g(n)). \]
   a) Wskazać elementy najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne.
   b) Czy ten porządek jest liniowy?
   c) Czy ten porządek jest kratą zupełną.
3. Podać przykład częściowego porządku zupełnego, który nie jest kratą zupełną. (Odpowiedź: funkcje częściowe z porządkiem rozszerzania.)
4. Niech \(r\) będzie częściowym porządkiem w A i niech \(f : A \to A\) będzie bijekcją. Rozpatrzmy funkcję \(g: A \times A \to A \times A\):
   \[ g(x,y) = \langle f(x), f(y) \rangle. \]
   Udowodnić, że \(g(r) \subseteq r\) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest monotoniczna.

Praca domowa

Zadania 364 i 399 a,c,d.

Ćwiczenia 7: porządki

Zadania

1. (Utajnione) Zadanie z kartkówki. 
2. Podać przykład zbioru częściowo uporządkowanego z dwoma elementami maksymalnymi, jednym minimalnym, bez elementu najmniejszego i z takim czteroelementowym antyłańcuchem, który jest ograniczony z góry, ale nie ma kresu górnego.
3.  Rozpatrzmy częściowe uporządkowanie zbioru \(\{0,1\}^{\NN}\) takie, że
   \[ f \leq g \hbox{ wtw. }\forall x (f(x) \leq g(x)). \]
   a) Czy ten porządek jest liniowy?
   b) Czy istnieje w nim łańcuch nieskończony?
   c) Czy istnieje w nim antyłańcuch nieskończony?
   d) Czy ma element maksymalny, minimalny, najmniejszy, największy?
4. Czy zbiór \(\{01^n \mid n \in \NN\}\) ma kres górny (dolny) w zbiorze \(\{0,1\}^{*}\) uporządkowanym leksykograficznie?

Praca domowa

Zadanie 358 ze zbioru zadań.

Uwaga: Relacja \(r \subseteq A \times A\) jest przeciwzrotna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\forall x \in A (\langle a, a\rangle \not\in r)\) .

Ćwiczenia 6: równoliczność, relacje

Zadania

1. Pokazać, że jeśli \(A \sim B\), to \(P(A) \times P(B) \sim \{0,1,2,3\}^A\).
2. Znaleźć przykład pięcioelementowej relacji na zbiorze liczb naturalnych, która jest
   a) przechodnia,
   b) symetryczna,
   c) zwrotna.
3. Czy dla każdego \(A\) i dla każdego \(R \subseteq A \times A\) zachodzi:
   a) \(R^{-1} \cdot R \subseteq id_{A}\),
   b) \(id_{A} \subseteq R^{-1} \cdot R \subseteq \)?
4.  Niech \(\mathcal{R}\) będzie taką rodziną relacji przechodnich, że dla dowolnych \(r, s \in \mathcal{R}\) zachodzi \(r \subseteq s\) lub \(s \subseteq r\). Udowodnić, że \(\bigcup \mathcal{R}\) jest relacją przechodnią.
5. Niech \(\mathcal{R}\) będzie niepustą rodziną relacji w \(A \times B\) i niech \(s \subseteq B \times C\). Udowodnić, że
   \[ (\bigcup R) \cdot s = \bigcup \{ r \cdot s \mid r \in \mathcal{R} \}. \]

Praca domowa

Zadania 156 i 164.

Ćwiczenia 5: funkcje

Zadania

1.  Ile jest funkcji, funkcji częściowych, funkcji różnowartościowych, funkcji na
   a) \(\emptyset \to \emptyset\),
   b) \(\emptyset \to \{ \cdot \}\),
   c) \(\{ \cdot \}\to \emptyset\),
   d) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot \}\),
   e) \(\{ \cdot, \square \}\to \{ \cdot \}\),
   f) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot, \square \}\)?
    
2. Podać przykład \(f : A \to B\), \(X \subseteq A\), \(Y \subseteq B\) takich, że
   a) \(f^{-1}(f(X)) \neq X\),
   b) \(f(f^{-1}(Y)) \neq Y\).
3. Niech \(F : \NN^{\NN} \to P(\NN)\) będzie taka, że \(F(f) = f^{-1}(\{1\})\).
   a) Czy \(F\) jest różnowartościowa?
   b) Czy \(F\) jest na \(P(\NN)\)?
   c) Znaleźć obraz zbioru funkcji stałych.
   d) Znaleźć przeciwobraz zbioru \(\{\{ 10 \}\}\).
4. Pokazać, że funkcja \(\varphi: P(A\times B) \to P(A)^B\) dana wzorem:
   \[ \varphi(\Delta)(b) = \{ a\in A \mid \langle a,b\rangle \in \Delta \}\]
   jest bijekcją.

Praca domowa

Zadania 84 i 151 ze zbioru zadań

Ćwiczenia 4: iloczyn kartezjański, funkcje

Zadania

1. Czy następująca równość zachodzi dla dowolnego zbioru A:
   \[ \bigcap \{P(B) \mid B \subseteq A\} = \{ \bigcap P(B) \mid B\subseteq A\}?\]
2. Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
3. Czy dla dowolnych niepustych rodzin \(\mathcal{A}\) i \(\mathcal{B}\) zachodzi \(\bigcup \mathcal{A} \times  \bigcup \mathcal{B} = \bigcup \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in  \mathcal{A}, \beta \in  \mathcal{B}\}\)?
4. Niech \(f:A\to B\). Pokazać, że f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego C i dla każdych \(g,h: C \to A\) zachodzi \(f \circ g = f\circ h \to g=h\).

Praca domowa

Zadanie 114.

Ćwiczenia 3: suma uogólniona i iloczyn uogólniony

Zadania

1.  a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{A} \subseteq \bigcap \mathcal{B}\)?
   b) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{B} \subseteq \bigcap \mathcal{A}\)?
2. Czy dla dowolnych niepustych A, B takich, że \(A \cap B \neq \emptyset\) zachodzi:
   a) \(\bigcup A \cup\bigcup B = \bigcup (A \cup B)\)
   b) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cap B)\)?
3. Które z poniższych implikaci są prawdziwe dla dowolnych zbiorów X, Y:
   a) jeśli \( P(Y) \subseteq X \), to \(Y \subseteq \bigcup X\),
   b) jeśli \(Y \subseteq \bigcup X\), to \( P(Y) \subseteq X \).
4. Znaleźć \( \bigcup_{t \in \RR_+} A_t \) i \( \bigcap_{t \in \RR_+} A_t \), gdzie \(A_t = (1-\frac{1}{t}, 2 + \sqrt{t})\) dla \(t \in \RR_+\).

Praca domowa

Zadania 40 d, e i 45 ze zbioru zadań.