Ćwiczenia 4: iloczyn kartezjański, funkcje

Zadania

1. Czy następująca równość zachodzi dla dowolnego zbioru A:
   \[ \bigcap \{P(B) \mid B \subseteq A\} = \{ \bigcap P(B) \mid B\subseteq A\}?\]
2. Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
3. Czy dla dowolnych niepustych rodzin \(\mathcal{A}\) i \(\mathcal{B}\) zachodzi \(\bigcup \mathcal{A} \times  \bigcup \mathcal{B} = \bigcup \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in  \mathcal{A}, \beta \in  \mathcal{B}\}\)?
4. Niech \(f:A\to B\). Pokazać, że f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego C i dla każdych \(g,h: C \to A\) zachodzi \(f \circ g = f\circ h \to g=h\).

Praca domowa

Zadanie 114.

Ćwiczenia 2: rachunek zbiorów, zbiór potęgowy

Zadania

1. Przypuśćmy, że zbiór A ma n elementów, a zbiór B ma n elementów. Ile elementów mają zbiory \(A \cup B\), \(A \cap B\), \(A - B\)?
2. Czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzą równości:
   a) \(A - (B \cup C) = (A - B) - C\),
   b) \(A - (B - C) = (A - B) \cup C\),
   c) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)?
3. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów w \(A\), \(B\), \(C\) zachodzi następująca implikacja:
   a) jeśli \( A - B = B - A \), to \( A = B\),
   b) jeśli \(C - B \subseteq C - A\), to \(A \subseteq B\).
   
4. Zbadać, czy dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi:
   a) \(P (A \cup B) = P(A) \cup P(B)\),
   b) \(P (A \cap B) = P(A) \cap P(B)\).
5. Udowodnić, że dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi warunek: jeśli \(A \cap B = \emptyset\), to \(P(A) \cap P(B) = \{ \emptyset \}\).

Praca domowa 

Zadania 27 i 31.