Ćwiczenia 10: powtórzenie przed klasówką

Zadania

1. Czy zbiór \(\{0^n1 \mid n \in \NN\}\) ma kres górny (dolny) w zbiorze \(\{0,1\}^{\NN}\) uporządkowanym leksykograficznie?
2. Udowodnić, że nie istnieje słowo w takie, że \(a \cdot w = w \cdot b\).
3. Zdefiniować na listach operację dopisania liczby n na końcu listy.
4. Funkcję \(F : (\NN \to P(\NN)) \to P(\NN)\) jest określona warunkiem
   \[ F(x) = \bigcup \{x(i) \mid i \in \NN\}.\]
   a) Czy F jest różnowartościowa?
   b) Czy F jest na \(P(\NN)\)?
   c) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest jednoelementowy?
   d) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest czteroelementowy?
5. Podać przykład funkcji \(f : \NN \to \NN\) i zbioru \(X \subseteq \NN\), aby funkcja \(g:\NN\to P(\NN)\) określona wzorem:
   \[ g(i) = (f^i)^{-1}(X)\]
   była różnowartościowa.

Ze względu na klasówkę w tym tygodniu nie ma pracy domowej.

Ćwiczenia 5: funkcje

Zadania

1.  Ile jest funkcji, funkcji częściowych, funkcji różnowartościowych, funkcji na
   a) \(\emptyset \to \emptyset\),
   b) \(\emptyset \to \{ \cdot \}\),
   c) \(\{ \cdot \}\to \emptyset\),
   d) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot \}\),
   e) \(\{ \cdot, \square \}\to \{ \cdot \}\),
   f) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot, \square \}\)?
    
2. Podać przykład \(f : A \to B\), \(X \subseteq A\), \(Y \subseteq B\) takich, że
   a) \(f^{-1}(f(X)) \neq X\),
   b) \(f(f^{-1}(Y)) \neq Y\).
3. Niech \(F : \NN^{\NN} \to P(\NN)\) będzie taka, że \(F(f) = f^{-1}(\{1\})\).
   a) Czy \(F\) jest różnowartościowa?
   b) Czy \(F\) jest na \(P(\NN)\)?
   c) Znaleźć obraz zbioru funkcji stałych.
   d) Znaleźć przeciwobraz zbioru \(\{\{ 10 \}\}\).
4. Pokazać, że funkcja \(\varphi: P(A\times B) \to P(A)^B\) dana wzorem:
   \[ \varphi(\Delta)(b) = \{ a\in A \mid \langle a,b\rangle \in \Delta \}\]
   jest bijekcją.

Praca domowa

Zadania 84 i 151 ze zbioru zadań

Ćwiczenia 4: iloczyn kartezjański, funkcje

Zadania

1. Czy następująca równość zachodzi dla dowolnego zbioru A:
   \[ \bigcap \{P(B) \mid B \subseteq A\} = \{ \bigcap P(B) \mid B\subseteq A\}?\]
2. Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
3. Czy dla dowolnych niepustych rodzin \(\mathcal{A}\) i \(\mathcal{B}\) zachodzi \(\bigcup \mathcal{A} \times  \bigcup \mathcal{B} = \bigcup \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in  \mathcal{A}, \beta \in  \mathcal{B}\}\)?
4. Niech \(f:A\to B\). Pokazać, że f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego C i dla każdych \(g,h: C \to A\) zachodzi \(f \circ g = f\circ h \to g=h\).

Praca domowa

Zadanie 114.